מטה דן, ויכוח רביעי ס״דMatteh Dan, Fourth Dialogue 64

א׳אה״ח הנני לעשות ככל אשר צויתני. כי כן עלה במחשבתי לפרש כללי ההנדסה של פ״ק סוכה (דף י״ח ע״ב) שנמצאו בגמ׳ וברש״י ובתוספות בדרך קצרה וקלה אפי׳ למי שלא נכנס בחדרי החכמה המפוארה הזאת

ב׳כללי ההנדסה שהביאו התוספות ז״ל בפ״ק דסוכה דף ח״ רע״ו: כמה מרובע יתר על העיגול רביע.

ג׳

ד׳אין להוכיח דבר זה מהא דטבלא מרובעת של ג׳ על ג׳ חוט של י״ב יסוב אותה.

ה׳

ו׳וטבלה עגולה של ג׳

ז׳

ח׳חוט של תשע אמות יסוב אותה דכל שיש בהיקפו ג׳ טפחים יש בו רוחב טפח כדאמרן בשמעתין. דאין מביאין ראיה מחוט ההיקף הגדול רביע אצל

ט׳רחוב המקום. דאטו טבלא עגולה של ד׳ על ד׳ אמות

י׳

י״אס״ד שאינה מחזקת אלא כטבלא של ג׳ על ג׳ מרובעים לפי שהחוט המקיפו מדתו שוה והלא כשתחלק טבלא של ג׳ על ג׳ מרובע על ג׳ רצועות לאורך וג׳ רצועות לרוחב לא תמצא בה כי אם ט׳ אמה על אמה. וטבלא עגולה של ד׳ על ד׳

י״ב

י״געל כרחך יש בה י״ב רצועות של אמה על אמה.

י״ד

ט״ושהרי אם ריבוע של ד׳ על ד׳ כשנחלק לד׳ רצועות של רוחב אמה לארכו וכן לרחבו תמצא בו ט״ז רצועות של אמה על אמה ומרובע אין יתר על העיגול אלא רביע. נמצאת אתה אומר שהעגולה היא י״ב אמה על אמה. אלא ודאי אין ראיה מחוט של היקף כלל. ועוד תדע דרצועות של ה׳ אמות אורך על רוחב אמה חוט של י״ב אמות מקיפה וכשתבוא לחלקה לרצועה של אמה על אמה אין בה אלא ה׳ אמות. והיינו טעמא לפי שכשאתה מניח חוט בריבוע הולך ומיצר לזוויות וכשאתה מניחו בעיגול מרחיב והולך. ואם באנו לכוין החשבון דמרובע יתר על העיגול נוכל להוכיח בענין זה. שתעשה נקודה של משהו ותקיפנה בחוטין הרבה סביבה סיבוב אחר סיבוב סיבוב עד שירחיבו ויגדל הרוחב בעיגול טפח על טפח ואחר כך תחתוך החוטין מן הנקודה ולמטה דהיינו מחצי רוחב העיגול ולמטה ואחר שיחתכו יתפשטו כל החוטין מימין ומשמאל ונמצא כל חוט הולך ומאריך מחבירו משהו מכאן ומשהו מכאן עד שאתה מגיע לחוט העליון שארכו ג׳ טפחים שהוא חוט החיצון שהוא מסבב על טפח.

ט״ז

י״זדכל שיש ברחבו טפח יש בהקפו ג׳ טפחים. נמצאו החוטין הללו סדורין בענין זה כמין רצועה רחבה באמצע חצי טפח דהיינו כנגד הנקודה ומכאן ומכאן כלה והולכת וצרה עד משהו.

י״ח

י״טואם באת לחזור ולחלוק אותה באמצע דהיינו כנגד הנקודה. תמצא ב׳ רצועות שכל א׳ ארכה טפח ומחצה ומצד א׳ רחבה חצי טפח ומצד א׳ כלה עד משהו. ואתה צרף אלו שתי רצועות ושים הארוך כנגד הקצר תמצא רצועה ארכה טפח ומחצה על רוחב חצי טפח.

כ׳

כ״אתחלוק אותה לג׳ רצועות תמצא בה ג׳ רצועות מחצי טפח על חצי טפח. ואילו רצועה מרובעת של טפח כשתחלקנה שתי וערב תמצא בה ד׳ רצועות של חצי טפח על חצי טפח. הרי לך מרובע יתר על העיגול רביע:

כ״בדיבור שני דף ח׳ סע״א

כ״גכל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא. אין החשבון מכוון ולא דק דאיכא טפי פורתא. שאם תעש׳ ריבוע של עשר על עשר ותחלוק אותו שתי וערב נמצא בתוכו ד׳ ריבועים של ה׳ על ה׳ חזור וחלוק אותן ריבועים לאלכסונים ההולכים לצד אמצע של ריבוע גדול תמצא בריבוע הפנימי ג׳ אמה שהרי הוא חציו של חיצון שהרי חלקת הריבועים של ה׳ על ה׳ כל אחד לאלכסונו ואם לא היה אלא לפי חשבון אמתא ותרי חומשי דהיינו ז׳ על ז׳ נמצא דאין בו חציו של חיצון. דריבוע של ז׳ על ז׳ אין בו אלא מ״ט רצועות של אמה על אמה וראוי להיות חמשים דהא היא חציו של עשר על עשר דעולה לק׳ רצועות של אמה על אמה:

כ״ד

כ״הדיבור ג׳ דף ח׳ רע״ב

כ״וריבועא דנפיק מגו עיגולא פלגא. בקונטרס כשאתה מרבע בתוך העיגול אתה נוטל ממנו חצי השיעור הנשאר בו דהיינו תלתא דכולה. הילכך לט״ז ריבוע צריך העיגול המקיפו סביב להיות כ״ד ודבר תימא. הוא זה מה ענין זה אצל זה. אלא יש לפרש ריבועא דנפיק מגו עיגולא פלגא מרחבו של עיגול מחזיק רוחב הריבוע נמצאו זויות של ריבוע המגיעים עד העגול כפליים על רוחב הריבוע דקא סבר כל אמתא בריבועא תרי אמות באלכסונה. ותימא האיך טעי במדה ר׳ יוחנן ודייני דקיסרי מאחר שלא מדדו הדבר היאך עשו כלל על דבר שאינו. ויש לומר דקבלה בידם לשון זה של ריבועא מיגו עיגולא פלגא והוא אמת לענין המקום ולא לענין אורך החוט המקיף והרוחב דמקום הריבוע שבתוך העיגול מתמעט חצי של ריבוע ההוא תלתא דכוליה עיגול תדע שאם תעשה ריבוע של עשר על עשר ותחלקנו שתי וערב ותחזור ותעשה ריבוע בפנים לאלכסונם של רבועים קטנים כענין שפירשתי לעיל נמצא ריבוע פנימי חציו של חיצון ואם תעשה עיגול של עשר על עשר בתוך ריבוע החיצון יהא העיגול בין שני הריבועי׳ וזה הוכחנו שמרובע יתר על העיגול רביע. א״כ העיגול יתר על הרביע הפנימי חציו של פנימי דהיינו תלתא דעיגולא ורביע של ריבוע החיצון

כ״ז

כ״חוקצת תימא דלא נקט ריבועא דנפיק מגו עיגולא דהיינו תלתא מכל העיגול כי היכי דנקט עיגולא דנפיק מגו ריבועא ריבעא דהיינו ריבעא מכל הריבוע לכך יש לפרש דהנך תרי מילי קיימי דאיירי כעין שפרשתי שעוש׳ עיגול בתוך אותה ריבוע ואתא למימר שנתמעט העיגול רבוע של ריבוע החיצון. וריבוע פנימי נתמעט מריבוע חיצון פלגא ורביע ופלגא קיימי אריבוע חיצון. וא״ת והלא ריבוע של ז׳ על ז׳ אם תעשה בו עיגול של ז׳ על ז׳ אמות ותחזור ותעשה בתוך העיגול ריבוע שאלכסונו ז׳ כמדת העיגול הוה ליה ריבוע פנימי ה׳ על ה׳ לפי חשבון של אמתא ותרי חומשי באלכסונא. ומשכחת לה בריבוע פנימי יתר מחציו של חיצון דיש בפנימי כ״ה רצועות שלאמה, ובחיצון לא משכחת אלא מ״ט, וי״ל שזה תלוי במה שהוכחנו דחשבון של אמתא ותרי חומשי איננו מכוון דאיכא טפי וא״כ אין בריבוע הפנימי ה׳ על ה׳ שאם היה בו ה׳ על ה׳ היה אלכסונו עולה טפי משבעה:

כ״ט(כלל א) כל שיש בהקפו ג׳ טפחים יש בו רוחב טפח.

ל׳זה למדו מים של שלמה דכתיב ביה (מלכים א׳ ז׳) עשר באמה משפתו אל שפתו עגול סביב וקו שלשים באמה יסוב אותו סביב:

ל״אהלימודים כתבו שיש מעט יותר באלכסון העיגול משליש העיגול אבל חז״ל לא חששו לו מפני מיעוט שיעור משום דלחומרא לא דקו כדאמרינן בגמרא:

ל״ב(כלל ב). צורה א׳ המרובע יתר על העיגול רביע:

ל״ג(כלל ג). צורה יב כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא:

ל״ד(כלל ד). צורה יא עיגולא דנפיק מגו ריבוע ריבעא:

ל״ה(כלל ה). צורה יא אם תצייר מרובע בתוך עיגול ותצייר מרובע סביב לעיגול. שטחו של מרובע הפנימי יהיה חציו של שטח מריבוע חיצון: